פנחס יחזקאלי: פרקטל – החלקים דומים לשלם…

תקציר: פרקטל (Fractal) הוא חלק משלם, המכיל את האינפורמציה של השלם כולו, מעין תוכנית של המערכת, שנשמרת בכל רזולוציה. בשנות השישים של המאה הקודמת, פיתחו חוקרים שפה - ואפילו גאומטריה ייחודית - בשם "גיאומטריה פרקטלית", שהיא השפה שיכולה לתאר את מדע הכאוס.

[בתמונה: המחשה אומנותית של פרקטל... תמונה חופשית שעוצבה והועלתה על ידי SarahRichterArt לאתר Pixabay]

[בתמונה: המחשה אומנותית של פרקטל... תמונה חופשית שעוצבה והועלתה על ידי SarahRichterArt לאתר Pixabay]

פרקטלFractal) ) הוא חלק משלם, המכיל את האינפורמציה של השלם כולו, מעין תוכנית של המערכת, שנשמרת בכל רזולוציה. בשנות השישים של המאה הקודמת, פיתחו חוקרים שפה - ואפילו גאומטריה ייחודית - בשם "גיאומטריה פרקטלית", שהיא השפה שיכולה לתאר את מדע הכאוס.

המאמר עודכן ב- 6 בינואר 2021

ניצב משנה בגמלאות, ד"ר פנחס יחזקאלי הוא שותף בחברת 'ייצור ידע' ואיש אקדמיה. שימש בעבר כראש המרכז למחקר אסטרטגי ולמדניות של צה"ל. הוא העורך הראשי של אתר זה.

*  *  *

בהקשר של מערכת מורכבת, נגדיר "פרקטל" (Fractal) כחלק משלם, המכיל את האינפורמציה של השלם כולו – מעין תוכנית של המערכת, שנשמרת בכל רזולוציה.

זוהי תת-מערכת בתוך מערכת מורכבת, מסוגלת להגיב באופן עצמאי לסביבתה, באותו האופן שבו מגיבה מערכת-האם. משמע, החלק הקטן ביותר של המערכת זהה בצורתו ובתכונותיו לשלם. כך למשל:

  • הדנ"א מייצג את כל תכונות הגוף, ומתוכו נבנה גוף שלם;
  • המונח 'חברה פטריארכאלית' (חברה המאופיינת בשליטה גברית; כשהעוצמה בידי ראש המשפחה) מעתיק מבנה משפחתי מסוים לרמת החמולה; השבט, הקהילה כולה; וכדומה (בן יוסף, ללא תאריך).

[להרחבת המושג, 'מערכת מורכבת', לחצו כאן] [להרחבת המושג: 'מערכת אם', לחצו כאן]

[בתמונה: הדנ"א מייצג את כל תכונות הגוף, ומתוכו נבנה גוף שלם... תמונה חופשית - CC0 Creative Commons - שעוצבה והועלתה על ידי Schäferle לאתר Pixabay]

תופעות רבות בטבע ובארגונים ניתנות לתיאור כפרקטלים:

למשל: רכסי ההרים שהתמונה למטה:

[בתמונה: רכסי הרים כפרקטלים... תמונה חופשית - CC0 Creative Commons - שעוצבה והועלתה על ידי JAKO5D לאתר Pixabay]

[בתמונה: רכסי הרים כפרקטלים... תמונה חופשית - CC0 Creative Commons - שעוצבה והועלתה על ידי JAKO5D לאתר Pixabay]

למשל: מבנה העלה, בתמונה למטה:

[בתמונה: פרקטל במבנה של עלה. תמונה חופשית - CC0 Creative Commons - שעוצבה והועלתה על ידי sergilucaofa לאתר Pixabay]

[בתמונה: פרקטל במבנה של עלה. תמונה חופשית - CC0 Creative Commons - שעוצבה והועלתה על ידי sergilucaofa לאתר Pixabay]

גיאומטריה פרקטלית

פרקטל (Fractal) הוא צורה גאומטרית הניתנת לשבירה לצורות קטנות, הזהות לשלם שהן מרכיבות. בשנות השישים של המאה הקודמת, פיתחו חוקרים שפה ואפילו גאומטריה ייחודית בשם "גיאומטריה פרקטלית".

על גאומטריה זו נאמר, שהיא השפה שיכולה לתאר את מדע הכאוס. כאשר מנתחים באמצעותה, באופן ממוחשב, את מגוון המצבים האפשריים של מערכת כאוטית, מקבלים תמונה ייחודית לאותה מערכת - "תמונת פרקטל" (ראו הכרזה למטה):

[להרחבת המושג: 'תורת הכאוס', לחצו כאן] [להרחבת המושג: כאוס, לחצו כאן] [להעמקה בנושא ה'מגוון', לחצו כאן]

[התמונה המקורית היא תמונה חופשית - CC0 Creative Commons - שעוצבה והועלתה על ידי BarbaraALane לאתר Pixabay. הכרזה: ייצור ידע]

את המונח "פרקטל" (Fractal) הטביע המתמטיקאי, בנואה מנדלברוט (Mandelbrot), שעבד בחברת IBM ובדק תנודות במחירי הכותנה בשנות ה- 60 של המאה העשרים.

מקורו של מונח זה במילה הלטינית "Fractus" שפירושה 'שבור'. הוא מתייחס לפיתוח גאומטריה חדשה לתיאור תבניות לא סדירות בטבע (גליק, 1991, עמ' 88, 103).

[תמונתו של בנואה מנדלברוט, משמאל, נוצרה והועלתה לויקיפדיה על ידי Rama. קובץ זה הוא בעל רישיון Creative Commons להפצה, תחת רישיון זהה, גרסה: CC BY-SA 2.0]

פרקטל נבנה בשיטה של שכפול צורה גאומטרית בסיסית. האופן שבו משכפל המחשב את הצורות הבסיסיות של הפרקטל לפי ההשתנות בטבע, מבטאות את תהליך הזרימה של תופעה מתוארת.

נמחיש זאת דרך יצירה של תמונה ממוחשבת של פתית שלג (ראו התמונה למטה):

המבנה הבסיסי של הפרקטל הוא המשולש  (בשמאל התמונה למעלה). פתית השלג - בימין התמונה למעלה, ובתחתיתה - נוצר משכפול חוזר, שוב ושוב, של אותו משולש, והוא מורכב מכמות גדולה של משולשים זהים, שכולם חולקים את אותה התכונה. שכפול המשולשים, שיוצר המחשב על פני הלוח אמורות לבטא את תהליך הזרימה של תופעה מתוארת, של יצירת והשתנות השלג, שהוא אוסף של פתיתים כאלה (הרחבה בסוגיה זו ניתן לראות בסרטון היו טיוב למטה):

[בתמונה: יצירה של תמונה ממוחשבת של פרקטל, המתאר פתית שלג. בעל הזכויות בתמונה זו לא אותר. לכן, השימוש נעשה לפי סעיף 27א' לחוק זכויות יוצרים. בעל הזכויות הראשי, אנא פנה ל: yehezkeally@gmail.com]

[בתמונה: יצירה של תמונה ממוחשבת של פרקטל, המתאר פתית שלג. בעל הזכויות בתמונה זו לא אותר. לכן, השימוש נעשה לפי סעיף 27א' לחוק זכויות יוצרים. בעל הזכויות הראשי, אנא פנה ל: yehezkeally@gmail.com]

והנה למטה ציור ממוחשב שלם של עץ, המהווה פרקטל:

פרקטל

[בתמונה: ציור עץ פרקטלי. בעל הזכויות בתמונה זו לא אותר. לכן, השימוש נעשה לפי סעיף 27א' לחוק זכויות יוצרים. בעל הזכויות הראשי, אנא פנה ל: yehezkeally@gmail.com. לעוגן ברשת לחצו כאן]

מהם השימושים האפשריים לפרקטלים?

עד שמנדלברוט המציא את הפרקטלים, ניתן היה לתאר דברים באופן ויזואלי בשלושה ממדים:

  1. ממד אחד של קווים;
  2. שני ממדים של מישורים;
  3. ושלושה ממדים של נפחים.

הגדרת הפרקטלים אפשרה להציג ממדים לא שלמים. למרות שהפרקטלים הם "יצורים מתמטיים" ואין יצור פיזי בעולמנו שהוא פרקטל אמיתי בתכונותיו, יצורים פיזיים יכולים להיות בעלי תכונות פרקטליות או אפשר להציג אותם בקירוב על ידי פרקטלים (שמיר, 2005).

בטבע קיימות תופעות של התנהגויות כאוטיות, במגוון של תופעות, כמו למשל עננים, הרים, נהרות, טיפות שלג וכדומה. אלה ניתנים לתיאור על ידי פרקטלים, ופרקטלים עוזרים רבות במודליזציה שלהם. כך למשל אפשר בעזרת פרקטלים להפעיל מודלים של התנהגות מניות בבורסה ושל השתנות אוכלוסיית החיות בטבע, כפונקציה של הזמן (שמיר, 2005).

מצאת טעות בכתבה? הבחנת בהפרה של זכויות יוצרים? נתקלת בדבר מה שאיננו ראוי? אנא דווח לנו!

העשרה

מקורות והעשרה